Задача 1.60 (Беляев Н.М. Сборник задач по сопротивлению материалов. - 11-е изд. - М.: Наука, 1968. - 352 с.)

Ниже приведено решение методами сопротивления материалов. Так же по ссылке доступно решение методом конечных элементов.

Рисунок 1

Задача 1.60

Стержень, состоящий из верхней медной части и нижней стальной (смотри рисунок 1), нагружен силой \(P = 10 \, \textit{т} \). Оба конца стержня жёстко защемлены. Площадь его поперечного сечения \(F = 20 \, \textit{см}^2\). Определить напряжения в каждой части стержня.

1) Изобразим расчётную схему (смотри рисунок 2), реакции опор обозначим \(R_a\) и \(R_b\) и предположим, что они направлены вверх.

2) Запишем условие статики

$$P = R_a + R_b. \tag{1}$$

3) Запишем условие совместности деформаций

Рисунок 2

$$\Delta l_м = \Delta l_{ст}.$$

Данное уравнение получено исходя из того, что удлинение медной части стержня \( \Delta l_м \) равно укорочению стальной части \( \Delta l_{ст} \) (смотри рисунок 3). Определив \( \Delta l_м \) и \( \Delta l_{ст} \) согласно закону Гука, перепишем условие совместности деформаций в следующем виде

$$\frac{R_a \cdot l_м}{E_м \cdot F}=\frac{R_b \cdot l_{ст}}{E_{ст} \cdot F}, \tag{2}$$

где \(l_м = 40 \, \textit{см}\) - длина медной части стержня;
\(l_{ст} = 20 \, \textit{см}\) - длина стальной части стержня;
\(E_м = 1 \cdot 10^6 \, \textit{кг/см}^2\) - модуль упругости меди (смотри Беляев Н. М. Сборник задач по сопротивлению материалов. - 11-е изд. - М.: Наука, 1968. - с. 8.);
\(E_{ст} = 2 \cdot 10^6 \, \textit{кг/см}^2\) - модуль упругости стали (смотри Беляев Н. М. Сборник задач по сопротивлению материалов. - 11-е изд. - М.: Наука, 1968. - с. 8.).

Рисунок 3

4) Совместное решение уравнения статики \( (1) \) и уравнения совместности деформаций \( (2) \) позволяет определить реакции опор \(R_a\) и \(R_b\), таким образом мы получаем следующую систему уравнений

$$\begin{cases} P = R_a + R_b, \\ \dfrac{R_a \cdot l_м}{E_м \cdot F}=\dfrac{R_b \cdot l_{ст}}{E_{ст} \cdot F} \end{cases}$$

Полученная система позволяет определить реакции \(R_a\) и \(R_b\). Выразим \(R_b\) из уравнения \( (2) \)

$$ R_b=R_a \cdot \frac{l_м \cdot E_{ст}}{l_{ст} \cdot E_м}. \tag{3}$$

Подставим, полученное в равенстве \( (3)\) значение \( R_b \) в условие статики \( (1) \)

$$P = R_a + R_b = R_a + R_a \cdot \frac{l_м \cdot E_{ст}}{l_{ст} \cdot E_м} = R_a \cdot \left(1 + \frac{l_м \cdot E_{ст}}{l_{ст} \cdot E_м}\right). \tag{4}$$

Найдём реакцию \( R_a \) из уравнения \( (4) \)

$$R_a=\dfrac{P}{\left( 1 + \dfrac{l_м \cdot E_{ст}}{l_{ст} \cdot E_м} \right)} = \dfrac{10 \, \textit{т}}{\left( 1 + \dfrac{40 \, \textit{см} \cdot \left( 2 \cdot 10^6 \, \dfrac{\textit{кг}}{\textit{см}^2}\right)}{20 \, \textit{см} \cdot \left( 1 \cdot 10^6 \, \dfrac{\textit{кг}}{\textit{см}^2}\right)} \right)} = 2 \, \textit{т}.$$

Вычислив значение \( R_a \) определим из условия статики \( (1) \) реакцию \(R_b\)

$$R_b=P-R_a=10 \, \textit{т} - 2 \, \textit{т} = 8 \, \textit{т}.$$

5) Определим напряжения:

• в медной части стержня (напряжения растяжения)

$$\sigma_м=\frac{R_a}{F}=\frac{2 \, \textit{т}}{20 \, \textit{см}^2} = 0,1 \, \frac{\textit{т}}{\textit{см}^2} = 100 \, \frac{\textit{кг}}{\textit{см}^2}.$$

• в стальной части стержня (напряжения сжатия)

$$\sigma_{ст}=\frac{R_b}{F}=\frac{8 \, \textit{т}}{20 \, \textit{см}^2} = 0,4 \, \frac{\textit{т}}{\textit{см}^2} = 400 \, \frac{\textit{кг}}{\textit{см}^2}.$$

Ответ: \( \sigma_м = 100 \, \dfrac{\textit{кг}}{\textit{см}^2}; \; \sigma_{ст} = 400 \, \dfrac{\textit{кг}}{\textit{см}^2}. \)