Задача 1.24 (Беляев Н.М. Сборник задач по сопротивлению материалов. - 11-е изд. - М.: Наука, 1968. - 352 с.)

Ниже приведено решение методами сопротивления материалов. Так же по ссылке доступно решение методом конечных элементов.

Рисунок 1

Задача 1.24

Водонепроницаемый щит удерживается от опрокидывания деревянными подкосами AB (смотри рисунок 1), круглого поперечного сечения диаметром \(15 \, \textit{см} \). Допускаемое напряжение для материала подкосов принято равным \(20 \, \textit{кг/см}^2 \). Определить наибольшее расстояние между подкосами.

Рисунок 2

1) Рассмотрим часть водонепроницаемого щита длиной \( x \) и подкос воспринимающий нагрузку от этой части. Искомое расстояние между подкосами так же будет равно величине \( x \) (смотри рисунок 2).

2) Изобразим расчётную схему (смотри рисунок 3), где со стороны воды действует гидростатическое давление \( q_{гд} \), а со стороны подкоса усилие \( R_{AB} \).

3) Заменим распределённую нагрузку \( q_{гд} \) равнодействующей силой \( P_{гд} \). Равнодействующая по величине равна площади треугольника, образованного распределённой нагрузкой \( q_{гд} \) и приложена в центре тяжести этого треугольника, на расстоянии \( l \) от основания водонепроницаемого щита (смотри рисунок 4).

Рисунок 3

$$P_{гд} = 0,5 \cdot 3 \, \textit{м} \cdot (\rho \cdot h) \cdot x, \tag{1}$$

где \( (\rho \cdot h ), \, \textit{кг/м}^2 \) - гидростатическое давление воды на глубине \( h \);
\( \rho = 1000 \, \textit{кг/м}^3 \) - плотность воды;
\( h = 3 \, \textit{м} \) - высота жидкости.

$$l = \frac{1}{3} \cdot 3 \, \textit{м} = 1 \, \textit{м}. \tag{2}$$

4) Определим допускаемое усилие для подкоса \( R_{AB} \).

$$R_{AB} = \left( \pi \cdot \frac{d^2}{4} \right) \cdot [\sigma], \tag{3}$$

где \( d = 15 \, \textit{см} \) - диаметр поперечного сечения подкоса;
\( [\sigma] = 20 \, \textit{кг/см}^2 \) - допускаемое напряжение для материала подкоса.

Рисунок 4

5) Запишем уравнение статики. Сумма моментов относительно точки \( O \).

$$ \sum M(O) = l \cdot P_{гд} - 4 \, \textit{м} \cdot R_{AB} \cdot \cos{(\alpha)} = 0. \tag{4} $$

6) Выразим \( cos{(\alpha)} \) из основного тригонометрического тождества, связывающего тангенс и косинус.

$$ \tan^{2}{(\alpha)} + 1 = \frac{1}{\cos{(\alpha)}}. $$

$$ \cos{(\alpha)} = \sqrt{\frac{1}{\tan^{2}{(\alpha)} + 1}}, \tag{5} $$

где \( tan{(\alpha)}= \dfrac{4 \, \textit{м}}{3 \, \textit{м}} \) .

7) Подставим выражения \( (1) \), \( (3) \) и \( (5) \) в уравнение статики \( (4) \).

$$ l \cdot (0,5 \cdot 3 \, \textit{м} \cdot ( \rho \cdot h) \cdot x) - 4 \, \textit{м} \cdot \left( \pi \cdot \frac{d^2}{4} \right) \cdot [ \sigma ] \cdot \sqrt{\frac{1}{\tan^{2}{(\alpha)} + 1}} = 0. $$

Выразим \( x \) и подставим числовые значения.

$$ x = \dfrac{4 \, \textit{м} \cdot \left( \pi \cdot \dfrac{d^2}{4} \right) \cdot [ \sigma ] \cdot \sqrt{\dfrac{1}{\tan^{2}{(\alpha)} + 1}}}{l \cdot 0,5 \cdot 3 \, \textit{м} \cdot \rho \cdot h} = $$

$$ = \dfrac{4 \, \textit{м} \cdot \left( \pi \cdot \dfrac{(15 \, \textit{см})^2}{4} \right) \cdot 20 \, \dfrac{\textit{кг}}{\textit{см}^2} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{{\left( \dfrac{4 \, \textit{м}}{3 \, \textit{м}} \right)}^2 + 1}}}{1 \, \textit{м} \cdot 0,5 \cdot 3 \, \textit{м} \cdot 1000 \, \dfrac{\textit{кг}}{\textit{м}^3} \cdot 3 \, \textit{м}} \approx 1,88 \, \textit{м}. $$

Ответ: Наибольшее расстояние между подкосами \( 1,88 \, \textit{м} \).