Задача 702 (Рымкевич А. П. Физика. Задачник. 10-11 кл. - 17-е изд. - М.: Дрофа, 2013 - 188 с.)

Задача 702

Рисунок №1 (рисунок к задаче 702)

В точке \(A\) (смотри рисунок №1) расположен заряд \(q_1\), в точке \(B\) - заряд \(q_2\). Найти проекцию на ось \(X\) вектора напряжённости результирующего поля в точках \(C\) и \(D\), если \(AC = 6 \, \textit{см}\), \(CB=BD=3 \, \textit{см}\). Решить задачу для следующих значений зарядов:
а) \(q_1 = 40 \, \textit{нКл}, \; q_2 = 10 \, \textit{нКл}\);
б) \(q_1 = 40 \, \textit{нКл}, \; q_2 = -10 \, \textit{нКл}\);
в) \(q_1 = -40 \, \textit{нКл}, \; q_2 = 10 \, \textit{нКл}\);
г) \(q_1 = -40 \, \textit{нКл}, \; q_2 = -10 \, \textit{нКл}\).

1) Напряжённость результирующего поля в некоторой точке складывается из напряжённостей полей создаваемых каждым зарядом в отдельности. Применяя это к задаче, получим
$$ \vec{E}_C = \vec{E}_{C(q1)} + \vec{E}_{C(q2)} \tag{1} $$
и
$$ \vec{E}_D = \vec{E}_{D(q1)} + \vec{E}_{D(q2)} \tag{2}, $$
где \( \vec{E}_C\) и \( \vec{E}_D \) - напряжённость результирующего поля в точке \(C\) и в точке \(D\) соответственно;
\( \vec{E}_{C(q1)} \) и \( \vec{E}_{C(q2)} \) - напряжённость поля в точке \(C\) создаваемая зарядом \(q_1\) и \(q_2\) соответственно;
\( \vec{E}_{D(q1)} \) и \( \vec{E}_{D(q2)} \) - напряжённость поля в точке \(D\) создаваемая зарядом \(q_1\) и \(q_2\) соответственно.

Так как напряжённость величина векторная и в задаче её направление необходимо учитывать, то в ходе решения будем использовать вектора, и формулы, следовательно, будем записывать в векторной форме.

2) Напряжённость поля в точке определим по следующей формуле
$$ \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q'}, \tag{3} $$
где \( \vec{F} \) - сила, с которой поле действует на заряд, помещённый в точке, где определяется напряжённость;
\( q' \) - величина заряда, помещённого в точке, где определяется напряжённость.

Силу \(\vec{F}\) найдём по закону Кулона, записанному в векторной форме
$$ \vec{F} = k \cdot \frac{q \cdot q'}{|\vec{r}|^2} \cdot \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}, \tag{4} $$
где \(k\) - коэффициент пропорциональности;
\(q\) и \(q'\) - величина зарядов. Для данной задачи будем считать, что \(q\) - заряд, создающий поле вокруг себя, это может быть \(q_1\) или \(q_2\), а \(q'\) - заряд, помещённый в это поле;
\(\vec{r}\) - радиус-вектор равный по модулю расстоянию между зарядами, его направление условимся выбирать от заряда \(q_1\) или \(q_2\) к точке, в которой определяется напряжённость поля. Такое направление радиус-вектора обеспечит нам принятое направление вектора напряжённости, направление которого должно совпадать с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.

Коэффициент \( k \) в системе СИ записывается в следующем виде
$$ k = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0}, \tag{5} $$
где \(\varepsilon_0\) - электрическая постоянная, \(\varepsilon_0 \approx 8,854\cdot 10^{-12} \, \dfrac{\textit{Ф}}{\textit{м}} \) или \( \dfrac{\textit{Кл}^2}{\textit{Н} \cdot \textit{м}^2} \).

Теперь подставив выражение \( (5) \) в формулу \( (4) \) получим
$$ \vec{F} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{q \cdot q'}{|\vec{r}|^2} \cdot \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}. $$

Полученный результат подставляем в формулу \( (3) \)
$$ \vec{E} = \frac{ \vec{F}}{q'} = \frac{\dfrac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \dfrac{q \cdot q'}{|\vec{r}|^2} \cdot \dfrac{\vec{r}}{|\vec{r}|}}{q'} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{|\vec{r}|^2} \cdot \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}. \tag{6}$$

3) Запишем формулы \( (1) \) и \( (2) \), используя формулу \( (6) \). Радиус-вектор \( \vec{r} \) будем записывать с нижнем индексом, соответствующим отрезку на рисунке №1.
$$ \vec{E}_C = \vec{E}_{C(q1)} + \vec{E}_{C(q2)} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1}{|\vec{r}_{AC}|^2} \cdot \frac{\vec{r}_{AC}}{|\vec{r}_{AC}|} + \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{q_2}{|\vec{r}_{BC}|^2} \cdot \frac{\vec{r}_{BC}}{|\vec{r}_{BC}|} = $$
$$ = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left( \frac{q_1}{|\vec{r}_{AC}|^2} \cdot \frac{\vec{r}_{AC}}{|\vec{r}_{AC}|} + \frac{q_2}{|\vec{r}_{BC}|^2} \cdot \frac{\vec{r}_{BC}}{|\vec{r}_{BC}|} \right) ;$$

$$ \vec{E}_D = \vec{E}_{D(q1)} + \vec{E}_{D(q2)} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1}{|\vec{r}_{AD}|^2} \cdot \frac{\vec{r}_{AD}}{|\vec{r}_{AD}|} + \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{q_2}{|\vec{r}_{BD}|^2} \cdot \frac{\vec{r}_{BD}}{|\vec{r}_{BD}|} = $$
$$ = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left( \frac{q_1}{|\vec{r}_{AD}|^2} \cdot \frac{\vec{r}_{AD}}{|\vec{r}_{AD}|} + \frac{q_2}{|\vec{r}_{BD}|^2} \cdot \frac{\vec{r}_{BD}}{|\vec{r}_{BD}|} \right) .$$

Рисунок №2

4) Делаем рисунок (смотри рисунок №2) на котором изображаем радиус-вектора, затем проецируем их на ось \( X \). Из рисунка №2 видно, что радиус-вектора \( \vec{r}_{AC}, \; \vec{r}_{AD}, \; \vec{r}_{BD} \) совпадают по направлению с направлением оси \(X\) и потому проецируются со знаком плюс \( (+ |\vec{r}_{AC}|, \; +|\vec{r}_{AD}|, \; +|\vec{r}_{BD}| ) \), вектор \(\vec{r}_{BC} \) направлен в противоположную сторону и проецируется со знаком минус \( ( -|\vec{r}_{BC}| ) \). Перед вычислениями исходные данные запишем в системе СИ
\( AC = 6 \, \textit{см} = 0,06 \, \textit{м}\);
\( CB = BD = 3 \, \textit{см} = 0,03 \, \textit{м}\);
\( q_1 = \pm 40 \, \textit{нКл} = \pm 40 \cdot 10^{-9} \, \textit{Кл} \);
\( q_2 = \pm 10 \, \textit{нКл} = \pm 10 \cdot 10^{-9} \, \textit{Кл} \).
Так же определим отрезок \(AD = AC + CB + BD = 6 \, \textit{см} + 3 \, \textit{см} + 3 \, \textit{см} = 12 \, \textit{см} = 0,12 \, \textit{м} \). Теперь подставляем числовые значения.

Напряжённость результирующего поля в точках \( C \) и \( D \) для случая а)

$$ E_C = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left( \frac{q_1}{|\vec{r}_{AC}|^2} \cdot \frac{+|\vec{r}_{AC}|}{|\vec{r}_{AC}|} + \frac{q_2}{|\vec{r}_{BC}|^2} \cdot \frac{-|\vec{r}_{BC}|}{|\vec{r}_{BC}|} \right) = $$
$$ = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot 8,854 \cdot 10^{-12} \, \dfrac{\textit{Кл}^2}{\textit{Н} \cdot \textit{м}^2}} \cdot \left( \frac{40 \cdot 10^{-9} \, \textit{Кл}}{ \left( 0,06 \, \textit{м} \right)^2 } \cdot \frac{0,06 \, \textit{м}}{0,06 \, \textit{м}} + \frac{10 \cdot 10^{-9} \, \textit{Кл}}{ \left( 0,03 \, \textit{м} \right)^2 } \cdot \frac{-0,03 \, \textit{м}}{0,03 \, \textit{м}} \right) = $$

\( = 0 \, \dfrac{\textit{Н}}{\textit{Кл}} \) или \( 0 \, \dfrac{\textit{В}}{\textit{м}} \).

$$ E_D = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left( \frac{q_1}{|\vec{r}_{AD}|^2} \cdot \frac{+|\vec{r}_{AD}|}{|\vec{r}_{AD}|} + \frac{q_2}{|\vec{r}_{BD}|^2} \cdot \frac{+|\vec{r}_{BD}|}{|\vec{r}_{BD}|} \right) = $$
$$ = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot 8,854 \cdot 10^{-12} \, \dfrac{\textit{Кл}^2}{\textit{Н} \cdot \textit{м}^2}} \cdot \left( \frac{40 \cdot 10^{-9} \, \textit{Кл}}{ \left( 0,12 \, \textit{м} \right)^2 } \cdot \frac{0,12 \, \textit{м}}{0,12 \, \textit{м}} + \frac{10 \cdot 10^{-9} \, \textit{Кл}}{ \left( 0,03 \, \textit{м} \right)^2 } \cdot \frac{0,03 \, \textit{м}}{0,03 \, \textit{м}} \right) \approx $$

\( \approx 124,830 \cdot 10^3 \, \dfrac{\textit{Н}}{\textit{Кл}} \approx 125 \cdot 10^3 \, \dfrac{\textit{Н}}{\textit{Кл}} \) или \( 125 \cdot 10^3 \, \dfrac{\textit{В}}{\textit{м}} = 125 \, \dfrac{\textit{кВ}}{\textit{м}} \).

Напряжённость результирующего поля в точках \( C \) и \( D \) для случая б)

$$ E_C = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left( \frac{q_1}{|\vec{r}_{AC}|^2} \cdot \frac{+|\vec{r}_{AC}|}{|\vec{r}_{AC}|} + \frac{q_2}{|\vec{r}_{BC}|^2} \cdot \frac{-|\vec{r}_{BC}|}{|\vec{r}_{BC}|} \right) = $$
$$ = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot 8,854 \cdot 10^{-12} \, \dfrac{\textit{Кл}^2}{\textit{Н} \cdot \textit{м}^2}} \cdot \left( \frac{40 \cdot 10^{-9} \, \textit{Кл}}{ \left( 0,06 \, \textit{м} \right)^2 } \cdot \frac{0,06 \, \textit{м}}{0,06 \, \textit{м}} + \frac{-10 \cdot 10^{-9} \, \textit{Кл}}{ \left( 0,03 \, \textit{м} \right)^2 } \cdot \frac{-0,03 \, \textit{м}}{0,03 \, \textit{м}} \right) \approx $$

\( \approx 199,728 \cdot 10^3 \, \dfrac{\textit{Н}}{\textit{Кл}} \approx 200 \cdot 10^3 \, \dfrac{\textit{Н}}{\textit{Кл}} \) или \( 200 \cdot 10^3 \, \dfrac{\textit{В}}{\textit{м}} = 200 \, \dfrac{\textit{кВ}}{\textit{м}} \).

$$ E_D = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left( \frac{q_1}{|\vec{r}_{AD}|^2} \cdot \frac{+|\vec{r}_{AD}|}{|\vec{r}_{AD}|} + \frac{q_2}{|\vec{r}_{BD}|^2} \cdot \frac{+|\vec{r}_{BD}|}{|\vec{r}_{BD}|} \right) = $$
$$ = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot 8,854 \cdot 10^{-12} \, \dfrac{\textit{Кл}^2}{\textit{Н} \cdot \textit{м}^2}} \cdot \left( \frac{40 \cdot 10^{-9} \, \textit{Кл}}{ \left( 0,12 \, \textit{м} \right)^2 } \cdot \frac{0,12 \, \textit{м}}{0,12 \, \textit{м}} + \frac{-10 \cdot 10^{-9} \, \textit{Кл}}{ \left( 0,03 \, \textit{м} \right)^2 } \cdot \frac{0,03 \, \textit{м}}{0,03 \, \textit{м}} \right) \approx $$

\( \approx -74,898 \cdot 10^3 \, \dfrac{\textit{Н}}{\textit{Кл}} \approx -75 \cdot 10^3 \, \dfrac{\textit{Н}}{\textit{Кл}} \) или \( -75 \cdot 10^3 \, \dfrac{\textit{В}}{\textit{м}} = -75 \, \dfrac{\textit{кВ}}{\textit{м}} \).

Напряжённость результирующего поля в точках \( C \) и \( D \) для случая в)

$$ E_C = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left( \frac{q_1}{|\vec{r}_{AC}|^2} \cdot \frac{+|\vec{r}_{AC}|}{|\vec{r}_{AC}|} + \frac{q_2}{|\vec{r}_{BC}|^2} \cdot \frac{-|\vec{r}_{BC}|}{|\vec{r}_{BC}|} \right) = $$
$$ = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot 8,854 \cdot 10^{-12} \, \dfrac{\textit{Кл}^2}{\textit{Н} \cdot \textit{м}^2}} \cdot \left( \frac{-40 \cdot 10^{-9} \, \textit{Кл}}{ \left( 0,06 \, \textit{м} \right)^2 } \cdot \frac{0,06 \, \textit{м}}{0,06 \, \textit{м}} + \frac{10 \cdot 10^{-9} \, \textit{Кл}}{ \left( 0,03 \, \textit{м} \right)^2 } \cdot \frac{-0,03 \, \textit{м}}{0,03 \, \textit{м}} \right) \approx $$

\( \approx -199,728 \cdot 10^3 \, \dfrac{\textit{Н}}{\textit{Кл}} \approx -200 \cdot 10^3 \, \dfrac{\textit{Н}}{\textit{Кл}} \) или \( -200 \cdot 10^3 \, \dfrac{\textit{В}}{\textit{м}} = -200 \, \dfrac{\textit{кВ}}{\textit{м}} \).

$$ E_D = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left( \frac{q_1}{|\vec{r}_{AD}|^2} \cdot \frac{+|\vec{r}_{AD}|}{|\vec{r}_{AD}|} + \frac{q_2}{|\vec{r}_{BD}|^2} \cdot \frac{+|\vec{r}_{BD}|}{|\vec{r}_{BD}|} \right) = $$
$$ = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot 8,854 \cdot 10^{-12} \, \dfrac{\textit{Кл}^2}{\textit{Н} \cdot \textit{м}^2}} \cdot \left( \frac{-40 \cdot 10^{-9} \, \textit{Кл}}{ \left( 0,12 \, \textit{м} \right)^2 } \cdot \frac{0,12 \, \textit{м}}{0,12 \, \textit{м}} + \frac{10 \cdot 10^{-9} \, \textit{Кл}}{ \left( 0,03 \, \textit{м} \right)^2 } \cdot \frac{0,03 \, \textit{м}}{0,03 \, \textit{м}} \right) \approx $$

\( \approx 74,898 \cdot 10^3 \, \dfrac{\textit{Н}}{\textit{Кл}} \approx 75 \cdot 10^3 \, \dfrac{\textit{Н}}{\textit{Кл}} \) или \( 75 \cdot 10^3 \, \dfrac{\textit{В}}{\textit{м}} = 75 \, \dfrac{\textit{кВ}}{\textit{м}} \).

Напряжённость результирующего поля в точках \( C \) и \( D \) для случая г)

$$ E_C = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left( \frac{q_1}{|\vec{r}_{AC}|^2} \cdot \frac{+|\vec{r}_{AC}|}{|\vec{r}_{AC}|} + \frac{q_2}{|\vec{r}_{BC}|^2} \cdot \frac{-|\vec{r}_{BC}|}{|\vec{r}_{BC}|} \right) = $$
$$ = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot 8,854 \cdot 10^{-12} \, \dfrac{\textit{Кл}^2}{\textit{Н} \cdot \textit{м}^2}} \cdot \left( \frac{-40 \cdot 10^{-9} \, \textit{Кл}}{ \left( 0,06 \, \textit{м} \right)^2 } \cdot \frac{0,06 \, \textit{м}}{0,06 \, \textit{м}} + \frac{-10 \cdot 10^{-9} \, \textit{Кл}}{ \left( 0,03 \, \textit{м} \right)^2 } \cdot \frac{-0,03 \, \textit{м}}{0,03 \, \textit{м}} \right) = $$

\( = 0 \, \dfrac{\textit{Н}}{\textit{Кл}} \) или \( 0 \, \dfrac{\textit{В}}{\textit{м}} \).

$$ E_D = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left( \frac{q_1}{|\vec{r}_{AD}|^2} \cdot \frac{+|\vec{r}_{AD}|}{|\vec{r}_{AD}|} + \frac{q_2}{|\vec{r}_{BD}|^2} \cdot \frac{+|\vec{r}_{BD}|}{|\vec{r}_{BD}|} \right) = $$
$$ = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot 8,854 \cdot 10^{-12} \, \dfrac{\textit{Кл}^2}{\textit{Н} \cdot \textit{м}^2}} \cdot \left( \frac{-40 \cdot 10^{-9} \, \textit{Кл}}{ \left( 0,12 \, \textit{м} \right)^2 } \cdot \frac{0,12 \, \textit{м}}{0,12 \, \textit{м}} + \frac{-10 \cdot 10^{-9} \, \textit{Кл}}{ \left( 0,03 \, \textit{м} \right)^2 } \cdot \frac{0,03 \, \textit{м}}{0,03 \, \textit{м}} \right) \approx $$

\( \approx -124,830 \cdot 10^3 \, \dfrac{\textit{Н}}{\textit{Кл}} \approx -125 \cdot 10^3 \, \dfrac{\textit{Н}}{\textit{Кл}} \) или \( -125 \cdot 10^3 \, \dfrac{\textit{В}}{\textit{м}} = -125 \, \dfrac{\textit{кВ}}{\textit{м}} \).

Ответ: проекция на ось \( X\) вектора напряжённости результирующего поля в точках \(C\) и \(D\) для случаев:
а) \( E_C = 0 \, \dfrac{\textit{В}}{\textit{м}}, \quad E_D \approx 125 \, \dfrac{\textit{кВ}}{\textit{м}} \);
б) \( E_C \approx 200 \, \dfrac{\textit{В}}{\textit{м}}, \quad E_D \approx -75 \, \dfrac{\textit{кВ}}{\textit{м}} \);
в) \( E_C \approx -200 \, \dfrac{\textit{В}}{\textit{м}}, \quad E_D \approx 75 \, \dfrac{\textit{кВ}}{\textit{м}} \);
г) \( E_C = 0 \, \dfrac{\textit{В}}{\textit{м}}, \quad E_D \approx -125 \, \dfrac{\textit{кВ}}{\textit{м}} \).